浜松医科大学
2012年 医学部 第4問
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![1個のさいころを3回投げる.1回目,2回目,3回目に出る目の数をそれぞれX_1,X_2,X_3として,3つの確率変数Y=4X_1+X_2,Z_1=2X_1+3X_2,Z_2=2X_1+3X_3を定める.1から6までの目は等確率で出るものとするとき,以下の問いに答えよ.(1)数の集合U={x\;|\;x は整数かつ 5≦x≦30}を全体集合として,\begin{array}{l}S={x\;\bigg|\;x\inU かつ P(Y=x)>1/36}\\\T={x\;\bigg|\;x\inU かつ P(Z_1=x)>1/36}\end{array}を定める.部分集合SとTの要素をそれぞれ列挙せよ.(2)Yの値がSに属するという事象をAとし,i=1,2に対してZ_iの値がTに属するという事象をB_iとする.次の問いに答えよ.(i)i=1,2に対し,等式P(A∩B_i)=P(A)P(B_i)が成り立つかどうか,それぞれ調べよ.(ii)条件つき確率P_A(B_1∩B_2)の定義式をかき,その値を求めよ.](./thumb/397/1051/2012_4.png)
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$1$個のさいころを$3$回投げる.$1$回目,$2$回目,$3$回目に出る目の数をそれぞれ$X_1,\ X_2,\ X_3$として,$3$つの確率変数
\[ Y=4X_1+X_2,\quad Z_1=2X_1+3X_2,\quad Z_2=2X_1+3X_3 \]
を定める.$1$から$6$までの目は等確率で出るものとするとき,以下の問いに答えよ.
(1) 数の集合$U=\{x \;|\; x \text{は整数かつ}5 \leqq x \leqq 30 \}$を全体集合として, \[ \begin{array}{l} \displaystyle S=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Y=x)>\frac{1}{36} \right\} \\ \\ \displaystyle T=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Z_1=x)>\frac{1}{36} \right\} \end{array} \] を定める.部分集合$S$と$T$の要素をそれぞれ列挙せよ.
(2) $Y$の値が$S$に属するという事象を$A$とし,$i=1,\ 2$に対して$Z_i$の値が$T$に属するという事象を$B_i$とする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) $i=1,\ 2$に対し,等式$P(A \cap B_i)=P(A)P(B_i)$が成り立つかどうか,それぞれ調べよ.
(ⅱ) 条件つき確率$P_A(B_1 \cap B_2)$の定義式をかき,その値を求めよ.
(1) 数の集合$U=\{x \;|\; x \text{は整数かつ}5 \leqq x \leqq 30 \}$を全体集合として, \[ \begin{array}{l} \displaystyle S=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Y=x)>\frac{1}{36} \right\} \\ \\ \displaystyle T=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Z_1=x)>\frac{1}{36} \right\} \end{array} \] を定める.部分集合$S$と$T$の要素をそれぞれ列挙せよ.
(2) $Y$の値が$S$に属するという事象を$A$とし,$i=1,\ 2$に対して$Z_i$の値が$T$に属するという事象を$B_i$とする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) $i=1,\ 2$に対し,等式$P(A \cap B_i)=P(A)P(B_i)$が成り立つかどうか,それぞれ調べよ.
(ⅱ) 条件つき確率$P_A(B_1 \cap B_2)$の定義式をかき,その値を求めよ.
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