大阪市立大学
2014年 文系 第3問
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![図のような三角柱ABC-DEFが中心O,半径1の球に内接している.すなわち,三角柱の頂点A,B,C,D,E,Fはすべて,中心O,半径1の球面上にある.また,三角形ABCと三角形DEFは合同な正三角形で,四角形ADEB,四角形BEFC,四角形CFDAは合同な長方形であるとする.∠AOD=2α,∠AOB=2βとおく.ただし,0<α<π/2,0<β<π/3とする.次の問いに答えよ.(プレビューでは図は省略します)(1)\frac{sinβ}{cosα}の値を求めよ.(2)三角柱ABC-DEFの体積Vをαを用いて表せ.(3)Vの最大値を求めよ.](./thumb/506/1167/2014_3.png)
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図のような三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$が中心$\mathrm{O}$,半径$1$の球に内接している.すなわち,三角柱の頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$はすべて,中心$\mathrm{O}$,半径$1$の球面上にある.また,三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$は合同な正三角形で,四角形$\mathrm{ADEB}$,四角形$\mathrm{BEFC}$,四角形$\mathrm{CFDA}$は合同な長方形であるとする.$\angle \mathrm{AOD}=2 \alpha$,$\angle \mathrm{AOB}=2 \beta$とおく.ただし,$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$,$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{3}$とする.次の問いに答えよ.
\imgc{506_1167_2014_1}
(1) $\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ.
(2) 三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ.
(3) $V$の最大値を求めよ.
(1) $\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ.
(2) 三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ.
(3) $V$の最大値を求めよ.
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