大阪府立大学
2011年 理系 第2問
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四面体OABCと，Oと異なる点Gが与えられているとき，以下の問いに答えよ．
(1) 等式$\text{AG}^2=\text{OG}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{OA}^2$を示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の内積を表す．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$が \[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}} \] と表されているとき， \[ a\text{AG}^2+b\text{BG}^2+c\text{CG}^2=a\text{OA}^2+b\text{OB}^2+c\text{OC}^2 \] が成り立つための実数$a,\ b,\ c$についての条件を求めよ．
(1) 等式$\text{AG}^2=\text{OG}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{OA}^2$を示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の内積を表す．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$が \[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}} \] と表されているとき， \[ a\text{AG}^2+b\text{BG}^2+c\text{CG}^2=a\text{OA}^2+b\text{OB}^2+c\text{OC}^2 \] が成り立つための実数$a,\ b,\ c$についての条件を求めよ．
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