山梨大学
2016年 工学部・生命環境(生命工) 第2問
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四面体$\mathrm{OABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき,$|\overrightarrow{a|}=2$,$|\overrightarrow{b|}=\sqrt{3}$,$|\overrightarrow{c|}=1$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2$,$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{3}$,$\displaystyle \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=\frac{4}{3}$を満たすとする.点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろし,平面$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{H}$とする.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ.
(3) 辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし,線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする.このとき,直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ.また,その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき,$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ.
(3) 辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし,線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする.このとき,直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ.また,その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき,$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ.
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