名古屋工業大学
2010年 理系 第2問
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![定数a,関数f(x),および数列{x_n}を次のように定める.\begin{eqnarray}&&1<a<2,f(x)=1/2(3x^2-x^3)\nonumber\\&&x_1=a,x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2,3,・・・)\nonumber\end{eqnarray}(1)関数f(x)の増減を調べよ.(2)すべての自然数nに対して1<x_n<2を示せ.(3)すべての自然数nに対してx_{n+1}>x_nを示せ.(4)次の不等式を満たすnに無関係な定数b(0<b<1)があることを示せ.2-x_{n+1}≦b(2-x_n)(n=1,2,3,・・・)(5)数列{x_n}が収束することを示し,その極限値を求めよ.](./thumb/412/2577/2010_2.png)
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定数$a$,関数$f(x)$,および数列$\{x_n\}$を次のように定める.
\begin{eqnarray}
& & 1<a<2,\quad f(x)=\frac{1}{2}(3x^2-x^3) \nonumber \\
& & x_1=a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
(1) 関数$f(x)$の増減を調べよ.
(2) すべての自然数$n$に対して$1<x_n<2$を示せ.
(3) すべての自然数$n$に対して$x_{n+1}>x_n$を示せ.
(4) 次の不等式を満たす$n$に無関係な定数$b \ (0<b<1)$があることを示せ. \[ 2-x_{n+1} \leqq b(2-x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5) 数列$\{x_n\}$が収束することを示し,その極限値を求めよ.
(1) 関数$f(x)$の増減を調べよ.
(2) すべての自然数$n$に対して$1<x_n<2$を示せ.
(3) すべての自然数$n$に対して$x_{n+1}>x_n$を示せ.
(4) 次の不等式を満たす$n$に無関係な定数$b \ (0<b<1)$があることを示せ. \[ 2-x_{n+1} \leqq b(2-x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5) 数列$\{x_n\}$が収束することを示し,その極限値を求めよ.
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