名古屋工業大学
2010年 理系 第2問
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定数$a$，関数$f(x)$，および数列$\{x_n\}$を次のように定める．
\begin{eqnarray}
& & 1<a<2,\quad f(x)=\frac{1}{2}(3x^2-x^3) \nonumber \\
& & x_1=a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
(1) 関数$f(x)$の増減を調べよ．
(2) すべての自然数$n$に対して$1<x_n<2$を示せ．
(3) すべての自然数$n$に対して$x_{n+1}>x_n$を示せ．
(4) 次の不等式を満たす$n$に無関係な定数$b \ (0<b<1)$があることを示せ． \[ 2-x_{n+1} \leqq b(2-x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5) 数列$\{x_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．
(1) 関数$f(x)$の増減を調べよ．
(2) すべての自然数$n$に対して$1<x_n<2$を示せ．
(3) すべての自然数$n$に対して$x_{n+1}>x_n$を示せ．
(4) 次の不等式を満たす$n$に無関係な定数$b \ (0<b<1)$があることを示せ． \[ 2-x_{n+1} \leqq b(2-x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5) 数列$\{x_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．
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