名古屋大学
2013年 文系 第3問
3
![k,m,nは整数とし,n≧1とする.\comb{m}{k}を二項係数として,S_k(n),T_m(n)を以下のように定める.\begin{align}&S_k(n)=1^k+2^k+3^k+・・・+n^k,S_k(1)=1(k≧0)\nonumber\\&T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+・・・+\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n)\nonumber\\&\phantom{T_m(n)}=Σ_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n)(m≧2)\nonumber\end{align}(1)T_m(1)とT_m(2)を求めよ.(2)一般のnに対してT_m(n)を求めよ.(3)pが7以上の素数のとき,S_1(p-1),S_2(p-1),S_3(p-1),S_4(p-1)はpの倍数であることを示せ.](./thumb/411/964/2013_3.png)
3
$k,\ m,\ n$は整数とし,$n \geqq 1$とする.$\comb{m}{k}$を二項係数として,$S_k(n),\ T_m(n)$を以下のように定める.
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}
(1) $T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ.
(2) 一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ.
(3) $p$が7以上の素数のとき,$S_1(p-1),\ S_2(p-1),\ S_3(p-1),\ S_4(p-1)$は$p$の倍数であることを示せ.
(1) $T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ.
(2) 一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ.
(3) $p$が7以上の素数のとき,$S_1(p-1),\ S_2(p-1),\ S_3(p-1),\ S_4(p-1)$は$p$の倍数であることを示せ.
関連問題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。