長崎大学
2015年 歯学・工学部 第3問
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![以下の問いに答えよ.(1)次の関係式によって定められる数列{a_n}について,一般項a_nと\lim_{n→∞}a_nを求めよ.{\begin{array}{ll}a_1=1\a_{n+1}-(√2+1)a_n=1&(n=1,2,3,・・・)\end{array}.(2)次の極限値を求めよ.\lim_{n→∞}(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+・・・+\frac{n}{n^2+n^2})(3)曲線C:√x+√y=1とx軸およびy軸で囲まれた下図の図形を,x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ.(プレビューでは図は省略します)](./thumb/713/2947/2015_3.png)
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以下の問いに答えよ.
(1) 次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について,一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ. \[ \left\{ \begin{array}{ll} a_1=1 \\ a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \end{array} \right. \]
(2) 次の極限値を求めよ. \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3) 曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を,$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ. \imgc{713_1974_2015_3}
(1) 次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について,一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ. \[ \left\{ \begin{array}{ll} a_1=1 \\ a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \end{array} \right. \]
(2) 次の極限値を求めよ. \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3) 曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を,$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ. \imgc{713_1974_2015_3}
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