宮崎大学
2016年 教育文化(理系) 第4問
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$r>0$とするとき,関数$f_n(x) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
$f_1(x)=e^{-rx},$
$\displaystyle f_{n+1}(x)=nre^{-(n+1)rx} \int_0^x f_n(t) e^{(n+1)rt} \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定める.このとき,次の各問に答えよ.
(1) 関数$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ.
(2) 関数$f_n(x)$を推測し,その推測が正しいことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) $n \geqq 3,\ x>0$のとき,関数$f_n(x)$の極値を求めよ.
$f_1(x)=e^{-rx},$
$\displaystyle f_{n+1}(x)=nre^{-(n+1)rx} \int_0^x f_n(t) e^{(n+1)rt} \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定める.このとき,次の各問に答えよ.
(1) 関数$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ.
(2) 関数$f_n(x)$を推測し,その推測が正しいことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) $n \geqq 3,\ x>0$のとき,関数$f_n(x)$の極値を求めよ.
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