宮城教育大学
2016年 教育学部（中等数学） 第3問
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$2$つの数列$\{\theta_n\},\ \{a_n\}$を漸化式
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき，次の問いに答えよ．
(1) 数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ．また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3) $2 \cos \theta_n=a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ．
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき，次の問いに答えよ．
(1) 数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ．また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3) $2 \cos \theta_n=a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ．
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