平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする．また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする．$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする．さらに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線と，$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ． \imgc{457_2645_2015_1}
(1) $\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2) $\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3) $\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4) $\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．