東京医科歯科大学
2015年 医学部 第1問
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![nを自然数,mを2n以下の自然数とする.1からnまでの自然数が1つずつ記されたカードが,それぞれの数に対して2枚ずつ,合計2n枚ある.この中から,m枚のカードを無作為に選んだとき,それらに記された数がすべて異なる確率をP_n(m)と表す.ただしP_n(1)=1とする.さらに,E_n(m)=mP_n(m)とおく.このとき以下の各問いに答えよ.(1)P_3(2),P_3(3),P_3(4)を求めよ.(2)E_{10}(m)が最大となるようなmを求めよ.(3)自然数nに対し,E_n(m)>E_n(m+1)を満たす自然数mの最小値をf(n)とするとき,f(n)をnを用いて表せ.ただし,ガウス記号[]を用いてよい.ここで,実数xに対して,xを超えない最大の整数を[x]と表す.](./thumb/180/1908/2015_1.png)
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$n$を自然数,$m$を$2n$以下の自然数とする.$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが,それぞれの数に対して$2$枚ずつ,合計$2n$枚ある.この中から,$m$枚のカードを無作為に選んだとき,それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す.ただし$P_n(1)=1$とする.さらに,
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ.
(2) $E_{10}(m)$が最大となるような$m$を求めよ.
(3) 自然数$n$に対し, \[ E_n(m)>E_n(m+1) \] を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき,$f(n)$を$n$を用いて表せ.ただし,ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい.ここで,実数$x$に対して,$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す.
(1) $P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ.
(2) $E_{10}(m)$が最大となるような$m$を求めよ.
(3) 自然数$n$に対し, \[ E_n(m)>E_n(m+1) \] を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき,$f(n)$を$n$を用いて表せ.ただし,ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい.ここで,実数$x$に対して,$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す.
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