札幌医科大学
2013年 医学部 第4問
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関数$f(x)=x \cos x-\sin x$を区間$I:\pi \leqq x \leqq 3\pi$で考える.
(1) 不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ.
(2) 区間$I$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ.区間$I$において$f(x)=0$をみたす$2$点を$x=s,\ t$とする.ただし$s<t$とする.
(3) $s$と$t$は,それぞれ次の$4$つの区間
$\displaystyle \pi \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi,\quad \frac{3}{2}\pi \leqq x \leqq 2\pi,$
$\displaystyle 2\pi \leqq x \leqq \frac{5}{2}\pi,\quad \frac{5}{2}\pi \leqq x \leqq 3\pi$
のどれに入るか.
(4) $x$軸の$4\pi-t \leqq x \leqq 2\pi$の部分,直線$x=4\pi-t$,直線$x=2\pi$および$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S$とする.また,$x$軸の$2\pi \leqq x \leqq t$の部分,$x=2\pi$および$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$T$とする.このとき$S$と$T$の大小を比較せよ.
(1) 不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ.
(2) 区間$I$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ.区間$I$において$f(x)=0$をみたす$2$点を$x=s,\ t$とする.ただし$s<t$とする.
(3) $s$と$t$は,それぞれ次の$4$つの区間
$\displaystyle \pi \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi,\quad \frac{3}{2}\pi \leqq x \leqq 2\pi,$
$\displaystyle 2\pi \leqq x \leqq \frac{5}{2}\pi,\quad \frac{5}{2}\pi \leqq x \leqq 3\pi$
のどれに入るか.
(4) $x$軸の$4\pi-t \leqq x \leqq 2\pi$の部分,直線$x=4\pi-t$,直線$x=2\pi$および$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S$とする.また,$x$軸の$2\pi \leqq x \leqq t$の部分,$x=2\pi$および$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$T$とする.このとき$S$と$T$の大小を比較せよ.
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