首都大学東京
2014年 理系 第2問
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![2次正方行列M=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})についての条件(*)a=d かつ b=-cを考える.(*)を満たすMに対して,実数f(M)をf(M)=\sqrt{a^2+b^2}と定める.以下の問いに答えなさい.(1)2次正方行列A,Bがともに(*)を満たすならば,積ABも(*)を満たすことを証明しなさい.(2)2次正方行列A,Bがともに(*)を満たすならば,f(AB)=f(A)f(B)が成り立つことを証明しなさい.(3)A=16(\begin{array}{cc}1&-√3\√3&1\end{array})に対してf(A^n)が十進法で10けた以上となる自然数nのうち最小のものを求めなさい.ただし,本問においてはlog_{10}2=0.301とする.](./thumb/188/1487/2014_2.png)
2
$2$次正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$についての条件
\[ (\ast) \ \ a=d \ \ \text{かつ} \ \ b=-c \]
を考える.$(\ast)$を満たす$M$に対して,実数$f(M)$を$f(M)=\sqrt{a^2+b^2}$と定める.以下の問いに答えなさい.
(1) $2$次正方行列$A,\ B$がともに$(\ast)$を満たすならば,積$AB$も$(\ast)$を満たすことを証明しなさい.
(2) $2$次正方行列$A,\ B$がともに$(\ast)$を満たすならば,$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを証明しなさい.
(3) $A=16 \left( \begin{array}{cc} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{array} \right)$に対して$f(A^n)$が十進法で$10$けた以上となる自然数$n$のうち最小のものを求めなさい.ただし,本問においては$\log_{10}2=0.301$とする.
(1) $2$次正方行列$A,\ B$がともに$(\ast)$を満たすならば,積$AB$も$(\ast)$を満たすことを証明しなさい.
(2) $2$次正方行列$A,\ B$がともに$(\ast)$を満たすならば,$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを証明しなさい.
(3) $A=16 \left( \begin{array}{cc} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{array} \right)$に対して$f(A^n)$が十進法で$10$けた以上となる自然数$n$のうち最小のものを求めなさい.ただし,本問においては$\log_{10}2=0.301$とする.
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