甲南大学
2012年 理系1 第2問
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$a$を正の実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{P}(0,\ 1-a,\ 0)$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 等式$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$が成り立つように実数$s,\ t$の値を定めよ．
(2) 線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にあることを示せ．
(3) 実数$a$が$0<a<3$の範囲を動くとき，四面体$\mathrm{BCHP}$の体積の最大値を求めよ．
(1) 等式$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$が成り立つように実数$s,\ t$の値を定めよ．
(2) 線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にあることを示せ．
(3) 実数$a$が$0<a<3$の範囲を動くとき，四面体$\mathrm{BCHP}$の体積の最大値を求めよ．
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