高知大学
2015年 理学部・医学部 第2問
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関数$f(x)=nx^2-2(a_1+a_2+\cdots +a_n)x+({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2)$を考える．ただし，$n$は正の整数で，$a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n$は実数である．次の問いに答えよ．
(1) $n=1$および$n=2$のとき，常に$f(x) \geqq 0$であることを示せ．
(2) すべての$n$に対し，常に$f(x) \geqq 0$であることを示せ．
(3) ${(a_1+a_2+\cdots +a_n)}^2 \leqq n({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2)$であることを示せ．
(4) ${(a_1+a_2+\cdots +a_n)}^2=n({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2)$であれば，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$はすべて等しいことを示せ．
(1) $n=1$および$n=2$のとき，常に$f(x) \geqq 0$であることを示せ．
(2) すべての$n$に対し，常に$f(x) \geqq 0$であることを示せ．
(3) ${(a_1+a_2+\cdots +a_n)}^2 \leqq n({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2)$であることを示せ．
(4) ${(a_1+a_2+\cdots +a_n)}^2=n({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2)$であれば，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$はすべて等しいことを示せ．
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