金沢大学
2011年 理系 第2問
2
2
行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{3} & -\sqrt{3} \\
1 & 1
\end{array} \right)$に対して,$B=P^{-1}AP$とおく.また,$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$a_n,\ b_n$を
\[ \left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
0
\end{array} \right) \]
で定める.次の問いに答えよ.
(1) $P^{-1}$および$B$を求めよ.
(2) $a_n,\ b_n$を求めよ.
(3) 実数$x$を超えない最大の整数を$[ \; x \; ]$で表す.このとき \[ \left[(2+\sqrt{3})^n \right] = a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を示せ.また \[ c_n = (2+\sqrt{3})^n - \left[ (2+\sqrt{3})^n \right] \] とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n$の値を求めよ.
(1) $P^{-1}$および$B$を求めよ.
(2) $a_n,\ b_n$を求めよ.
(3) 実数$x$を超えない最大の整数を$[ \; x \; ]$で表す.このとき \[ \left[(2+\sqrt{3})^n \right] = a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を示せ.また \[ c_n = (2+\sqrt{3})^n - \left[ (2+\sqrt{3})^n \right] \] とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n$の値を求めよ.
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