鹿児島大学
2014年 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 第5問
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次の各問いに答えよ．
(1) 座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする．点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって，点$(2,\ 4)$に移ったとする．このとき，点$(x,\ y)$を求めよ．
(2) $(1)$で与えられた行列$P$を考える．$P^n=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3) 以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする．
(ⅰ) $XY=YX$が成立する．
(ⅱ) $XY=O$ならば，$X=O$または$Y=O$である．ただし，$O$は$2$次の零行列を表す．
(ⅲ) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする．このとき，$AX=Y$ならば，$X=YA^{-1}$である．
(1) 座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする．点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって，点$(2,\ 4)$に移ったとする．このとき，点$(x,\ y)$を求めよ．
(2) $(1)$で与えられた行列$P$を考える．$P^n=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3) 以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする．
(ⅰ) $XY=YX$が成立する．
(ⅱ) $XY=O$ならば，$X=O$または$Y=O$である．ただし，$O$は$2$次の零行列を表す．
(ⅲ) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする．このとき，$AX=Y$ならば，$X=YA^{-1}$である．
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