東北大学
2015年 理系 第6問
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![k≧2とnを自然数とする.nがk個の連続する自然数の和であるとき,すなわち,n=m+(m+1)+・・・+(m+k-1)が成り立つような自然数mが存在するとき,nをk-連続和とよぶことにする.ただし,自然数とは1以上の整数のことである.(1)nがk-連続和であることは,次の条件(A),(B)の両方が成り立つことと同値であることを示せ.(A)n/k-k/2+1/2は整数である.(B)2n>k^2が成り立つ.(2)fを自然数とする.n=2^fのとき,nがk-連続和となるような自然数k≧2は存在しないことを示せ.(3)fを自然数とし,pを2でない素数とする.n=p^fのとき,nがk-連続和となるような自然数k≧2の個数を求めよ.](./thumb/52/1021/2015_6.png)
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$k \geqq 2$と$n$を自然数とする.$n$が$k$個の連続する自然数の和であるとき,すなわち,
\[ n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1) \]
が成り立つような自然数$m$が存在するとき,$n$を$k$-連続和とよぶことにする.ただし,自然数とは$1$以上の整数のことである.
(1) $n$が$k$-連続和であることは,次の条件$(\mathrm{A})$,$(\mathrm{B})$の両方が成り立つことと同値であることを示せ.
$(\mathrm{A})$ \ \ $\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$は整数である.
$(\mathrm{B})$ \ \ $2n>k^2$が成り立つ.
(2) $f$を自然数とする.$n=2^f$のとき,$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$は存在しないことを示せ.
(3) $f$を自然数とし,$p$を$2$でない素数とする.$n=p^f$のとき,$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$の個数を求めよ.
(1) $n$が$k$-連続和であることは,次の条件$(\mathrm{A})$,$(\mathrm{B})$の両方が成り立つことと同値であることを示せ.
$(\mathrm{A})$ \ \ $\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$は整数である.
$(\mathrm{B})$ \ \ $2n>k^2$が成り立つ.
(2) $f$を自然数とする.$n=2^f$のとき,$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$は存在しないことを示せ.
(3) $f$を自然数とし,$p$を$2$でない素数とする.$n=p^f$のとき,$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$の個数を求めよ.
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コメント(5件)
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![]() すみませんがこの問題の解答解説の作成をお願いします。 他サイトで本年の解答解説を読んだので、理解はできたの ですが、かなり高度な解き方をしていて不安が残りました。 そこで今回この問題の解答解説をお願いしました。 よろしくお願いします。 |
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