点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$がある．このとき，以下の各問に答えよ．
(1) 実数$s,\ t$によって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められる点$\mathrm{P}$を考える．$s,\ t$が$s+2t \leqq 2$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．
(2) 実数$u$によって，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-u)\overrightarrow{\mathrm{QA}}+2u\overrightarrow{\mathrm{QB}}$で定められる点$\mathrm{Q}$を考える．$u$が$0 \leqq u \leqq 1$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{Q}$の存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．
(3) (1)で得られた図形が，(2)で得られた図形によって$2$つの図形に分割される．この$2$つの図形の面積をそれぞれ$S,\ T \ \ (S \leqq T)$とおくとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の値を求めよ．