弘前大学
2014年 理系 第4問
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![数列{a_n},{b_n}を，{\begin{array}{lll}a_1=1,&a_{n+1}=\sqrt{2b_n+1}&(n=1,2,3,・・・)\b_1=3,&b_{n+1}=\sqrt{2a_n+1}&(n=1,2,3,・・・)\phantom{\frac{[]}{2}}\end{array}.と定めるとき，次の問いに答えよ．(1)α=1+√2とする．自然数nに対して，不等式|a_{n+1|-α}≦(\frac{2}{1+α})|b_n-α|が成り立つことを示せ．(2)極限値\lim_{n→∞}a_n，\lim_{n→∞}b_nを求めよ．](./thumb/37/2045/2014_4.png)
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
a_1=1, & a_{n+1}=\sqrt{2b_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=3, & b_{n+1}=\sqrt{2a_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\frac{\fbox{}}{2}}
\end{array} \right. \]
と定めるとき，次の問いに答えよ．
(1) $\alpha=1+\sqrt{2}$とする．自然数$n$に対して，不等式$|a_{n+1|-\alpha} \leqq \left( \displaystyle \frac{2}{1+\alpha} \right) |b_n-\alpha|$が成り立つことを示せ．
(2) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
(1) $\alpha=1+\sqrt{2}$とする．自然数$n$に対して，不等式$|a_{n+1|-\alpha} \leqq \left( \displaystyle \frac{2}{1+\alpha} \right) |b_n-\alpha|$が成り立つことを示せ．
(2) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
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