行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$が次の条件を満たしているものとする． \[ A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \sqrt{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{\frac{3}{2}} \end{array} \right) \quad A \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -\sqrt{\frac{3}{2}} \\ \sqrt{\frac{1}{2}} \end{array} \right) \] このとき，次の問いに答えよ．
(1) $A$および$A^2$を求めよ．
(2) Oを座標平面上の原点とし，Oと異なる点P$(x_1,\ y_1)$があり，他の2点Q$(x_2,\ y_2)$，R$(x_3,\ y_3)$に対して次の関係があるとする． \[ \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right) = A^3 \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c} x_3 \\ y_3 \end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \] このとき，三角形OQRが正三角形であることを証明せよ．
(3) 点P，Qは(2)と同じものとする．$\angle \text{OPQ}$の大きさを求めよ．