弘前大学
2014年 理系 第4問
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を,
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
a_1=1, & a_{n+1}=\sqrt{2b_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=3, & b_{n+1}=\sqrt{2a_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\frac{\fbox{}}{2}}
\end{array} \right. \]
と定めるとき,次の問いに答えよ.
(1) $\alpha=1+\sqrt{2}$とする.自然数$n$に対して,不等式$|a_{n+1|-\alpha} \leqq \left( \displaystyle \frac{2}{1+\alpha} \right) |b_n-\alpha|$が成り立つことを示せ.
(2) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ.
(1) $\alpha=1+\sqrt{2}$とする.自然数$n$に対して,不等式$|a_{n+1|-\alpha} \leqq \left( \displaystyle \frac{2}{1+\alpha} \right) |b_n-\alpha|$が成り立つことを示せ.
(2) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ.
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