宮城教育大学
2016年 教育学部(中等数学) 第5問
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![点Pはx座標が正または0の範囲で放物線y=1-\frac{x^2}{2}上を動くとする.点Pにおける放物線y=1-\frac{x^2}{2}の法線をmとして,法線mとx軸とのなす角をθ(0<θ≦π/2)とする.法線m上の点QはPQ=1を満たし,不等式y>1-\frac{x^2}{2}の表す領域にあるとする.点Qの軌跡をCとし,次の問いに答えよ.(1)点P,Qの座標をθを用いて表せ.(2)曲線Cとx軸との交点の座標を求めよ.(3)不定積分∫\frac{1}{sinθ}dθをt=cosθと置換することにより求めよ.(4)不定積分∫\frac{1}{sin^2θ}dθ,∫\frac{1}{sin^4θ}dθをt=\frac{cosθ}{sinθ}と置換することにより求めよ.(5)曲線Cとx軸およびy軸により囲まれた図形の面積を求めよ.](./thumb/53/0/2016_5.png)
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点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする.点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として,法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする.法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし,不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする.点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし,次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2) 曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.
(3) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ.
(4) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$,$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ.
(5) 曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ.
(1) 点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2) 曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.
(3) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ.
(4) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$,$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ.
(5) 曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ.
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