図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\ 線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\ に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\ する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\ $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく． \img{669_2872_2012_1}{38}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3) 直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(ⅰ) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ⅱ) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．