宇都宮大学
2013年 理系 第6問
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![座標平面上で原点Oを中心とする半径1の円の第1象限の部分をCとする.曲線y=f(x)(0<x<1)は第4象限にあり,かつすべてのx_1(0<x_1<1)について,点(x_1,f(x_1))における接線がC上の点(x_1,y_1)におけるCの接線と直交しているとする.曲線y=f(x)上の動点をPとするとき,次の問いに答えよ.(1)f´(x)を求めよ.(2)点Pにおけるy=f(x)の接線とy軸との交点をQとするとき,線分PQの長さは常に1であることを示せ.(3)x軸上とy軸上に2辺をもち,線分OPを対角線とする長方形の面積をSとする.点PがSを最大にする位置にあるとき,PはPにおける曲線の接線と座標軸が交わってできる2点の中点であることを示せ.(4)f(x)を求めよ.ただし,\lim_{x→1-0}f(x)=0であるとする.](./thumb/95/2200/2013_6.png)
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座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限の部分を$C$とする.曲線$y=f(x) \ (0<x<1)$は第$4$象限にあり,かつすべての$x_1 \ (0<x_1<1)$について,点$(x_1,\ f(x_1))$における接線が$C$上の点$(x_1,\ y_1)$における$C$の接線と直交しているとする.曲線$y=f(x)$上の動点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $f^\prime(x)$を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さは常に$1$であることを示せ.
(3) $x$軸上と$y$軸上に$2$辺をもち,線分$\mathrm{OP}$を対角線とする長方形の面積を$S$とする.点$\mathrm{P}$が$S$を最大にする位置にあるとき,$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}$における曲線の接線と座標軸が交わってできる$2$点の中点であることを示せ.
(4) $f(x)$を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)=0$であるとする.
(1) $f^\prime(x)$を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さは常に$1$であることを示せ.
(3) $x$軸上と$y$軸上に$2$辺をもち,線分$\mathrm{OP}$を対角線とする長方形の面積を$S$とする.点$\mathrm{P}$が$S$を最大にする位置にあるとき,$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}$における曲線の接線と座標軸が交わってできる$2$点の中点であることを示せ.
(4) $f(x)$を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)=0$であるとする.
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