筑波大学
2013年 理系 第2問
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![nは自然数とする.(1)1≦k≦nを満たす自然数kに対して∫_{\frac{k-1}{2n}π}^{k/2nπ}sin2ntcostdt=(-1)^{k+1}\frac{2n}{4n^2-1}(cosk/2nπ+cos\frac{k-1}{2n}π)が成り立つことを示せ.(2)媒介変数tによってx=sint,y=sin2nt(0≦t≦π)と表される曲線C_nで囲まれた部分の面積S_nを求めよ.ただし必要ならΣ_{k=1}^{n-1}cosk/2nπ=1/2(\frac{1}{tanπ/4n}-1)(n≧2)を用いてよい.(3)極限値\lim_{n→∞}S_nを求めよ.(プレビューでは図は省略します)](./thumb/86/1824/2013_2.png)
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$n$は自然数とする.
(1) $1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$に対して \[ \int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi} \sin 2nt \cos t \, dt=(-1)^{k+1} \frac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \frac{k}{2n}\pi+\cos \frac{k-1}{2n}\pi \right) \] が成り立つことを示せ.
(2) 媒介変数$t$によって \[ x=\sin t,\quad y=\sin 2nt \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \] と表される曲線$C_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ.ただし必要なら \[ \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k}{2n}\pi=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \displaystyle\frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad (n \geqq 2) \] を用いてよい.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ. \imgc{86_1824_2013_1}
(1) $1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$に対して \[ \int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi} \sin 2nt \cos t \, dt=(-1)^{k+1} \frac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \frac{k}{2n}\pi+\cos \frac{k-1}{2n}\pi \right) \] が成り立つことを示せ.
(2) 媒介変数$t$によって \[ x=\sin t,\quad y=\sin 2nt \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \] と表される曲線$C_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ.ただし必要なら \[ \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k}{2n}\pi=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \displaystyle\frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad (n \geqq 2) \] を用いてよい.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ. \imgc{86_1824_2013_1}
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