千葉大学
2014年 理学部（物・化・生・地）・薬・工・先進（物・電・ナ・画・情） 第4問
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$n,\ m$を$0$以上の整数とし，
\[ I_{n,m}=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n \theta \sin^m \theta \, d\theta \]
とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $n \geqq 2$のとき，$I_{n,m}$を$I_{n-2,m+2}$を使って表せ．
(2) 次の式 \[ I_{2n+1,2m+1}=\frac{1}{2} \int_0^1 x^n(1-x)^m \, dx \] を示せ．
(3) 次の式 \[ \frac{n!m!}{(n+m+1)!}=\frac{\comb{m}{0}}{n+1}-\frac{\comb{m}{1}}{n+2}+\cdots +(-1)^m \frac{\comb{m}{m}}{n+m+1} \] を示せ．ただし$0!=1$とする．
(1) $n \geqq 2$のとき，$I_{n,m}$を$I_{n-2,m+2}$を使って表せ．
(2) 次の式 \[ I_{2n+1,2m+1}=\frac{1}{2} \int_0^1 x^n(1-x)^m \, dx \] を示せ．
(3) 次の式 \[ \frac{n!m!}{(n+m+1)!}=\frac{\comb{m}{0}}{n+1}-\frac{\comb{m}{1}}{n+2}+\cdots +(-1)^m \frac{\comb{m}{m}}{n+m+1} \] を示せ．ただし$0!=1$とする．
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