山形大学
2016年 理学部(数理) 第3問
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![数列{a_n}がa_1=-1,a_{n+1}=2a_n+3n-3(n=1,2,3,・・・)で定められているとき,次の問に答えよ.(1)b_n=a_n+3n(n=1,2,3,・・・)とする.このとき,b_{n+1}とb_nの関係式を求めよ.(2)数列{a_n}の一般項を求めよ.(3)すべての自然数nに対し,a_n≠0であることを示せ.(4)次の式で定められる数列{c_n}の一般項を求めよ.c_1=8,c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1}(n=1,2,3,・・・)(5)次の式で定められる数列{d_n}の一般項を求めよ.d_1=-8,d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n}(n=1,2,3,・・・)](./thumb/72/2157/2016_3.png)
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数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき,次の問に答えよ.
(1) $b_n=a_n+3n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ.
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3) すべての自然数$n$に対し,$a_n \neq 0$であることを示せ.
(4) 次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ. \[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5) 次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ. \[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1) $b_n=a_n+3n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ.
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3) すべての自然数$n$に対し,$a_n \neq 0$であることを示せ.
(4) 次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ. \[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5) 次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ. \[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
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