富山大学
2016年 医学部 第1問
1
1
関数$f(x),\ g(x)$に対して,$\displaystyle h(x)=\int_0^x f(x-t)g(t) \, dt$で定義される関数$h(x)$を$(f \ast g)(x)$と書くことにする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $(f \ast g)(x)=(g \ast f)(x)$が成り立つことを示せ.
(2) $g(x)=e^{-x}$とし,関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots$を \[ f_1(x)=1-e^{-x},\quad f_n(x)=(f_{n-1} \ast g)(x) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \] によって定義する.
(ⅰ) 整数$n$が$2$以上のとき,${f_n}^\prime(x)$を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ.
(ⅱ) $h_n(x)=e^x {f_n}^\prime(x) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおくとき,$3$以上の整数$n$に対して,${h_n}^\prime(x)$を$h_{n-1}(x)$を用いて表せ.
(ⅲ) $h_n(x)$を求めよ.
(1) $(f \ast g)(x)=(g \ast f)(x)$が成り立つことを示せ.
(2) $g(x)=e^{-x}$とし,関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots$を \[ f_1(x)=1-e^{-x},\quad f_n(x)=(f_{n-1} \ast g)(x) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \] によって定義する.
(ⅰ) 整数$n$が$2$以上のとき,${f_n}^\prime(x)$を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ.
(ⅱ) $h_n(x)=e^x {f_n}^\prime(x) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおくとき,$3$以上の整数$n$に対して,${h_n}^\prime(x)$を$h_{n-1}(x)$を用いて表せ.
(ⅲ) $h_n(x)$を求めよ.
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。