岡山大学
2015年 理系 第3問
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自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,関数$f_n(x)=x^{n+1}(1-x)$を考える.
(1) 曲線$y=f_n(x)$上の点$(a_n,\ f_n(a_n))$における接線が原点を通るとき,$a_n$を$n$の式で表せ.ただし,$a_n>0$とする.
(2) $0 \leqq x \leqq 1$の範囲で,曲線$y=f_n(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$B_n$とする.また,$(1)$で求めた$a_n$に対して,$0 \leqq x \leqq a_n$の範囲で,曲線$y=f_n(x)$,$x$軸,および直線$x=a_n$で囲まれた図形の面積を$C_n$とする.$B_n$および$C_n$を$n$の式で表せ.
(3) $(2)$で求めた$B_n$および$C_n$に対して,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{B_n}$を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$が自然対数の底$e$であることを用いてよい.
(1) 曲線$y=f_n(x)$上の点$(a_n,\ f_n(a_n))$における接線が原点を通るとき,$a_n$を$n$の式で表せ.ただし,$a_n>0$とする.
(2) $0 \leqq x \leqq 1$の範囲で,曲線$y=f_n(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$B_n$とする.また,$(1)$で求めた$a_n$に対して,$0 \leqq x \leqq a_n$の範囲で,曲線$y=f_n(x)$,$x$軸,および直線$x=a_n$で囲まれた図形の面積を$C_n$とする.$B_n$および$C_n$を$n$の式で表せ.
(3) $(2)$で求めた$B_n$および$C_n$に対して,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{B_n}$を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$が自然対数の底$e$であることを用いてよい.
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