浜松医科大学
2016年 医学部 第2問
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$r$を$1<r<3$を満たす実数,$k$を$|r-2|<k<1$を満たす実数とする.また,次の関数$f(x)$を考える.
\[ f(x)=rx(1-x) \]
以下の問いに答えよ.
(1) $f(x)=x$を満たす$x$を求めよ.
\setlength{\leftskip}{-6mm}
以下の問題では,$(1)$で求めた$x$のうちで正のものを$x_r$とする.
[$(2)$] 次の条件
$|x-x_r|<a$を満たすすべての$x$について$|f^\prime(x)|<k$
が成り立つような正の実数$a$が存在することを証明せよ. [$(3)$] $(2)$の$a$に対して,数列$\{x_n\}$を \[ |x_1-x_r|<a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定める.
(ⅰ) すべての自然数$n$について$|x_n-x_r|<a$であることを証明せよ.
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=x_r$を証明せよ.
(1) $f(x)=x$を満たす$x$を求めよ.
\setlength{\leftskip}{-6mm}
以下の問題では,$(1)$で求めた$x$のうちで正のものを$x_r$とする.
[$(2)$] 次の条件
$|x-x_r|<a$を満たすすべての$x$について$|f^\prime(x)|<k$
が成り立つような正の実数$a$が存在することを証明せよ. [$(3)$] $(2)$の$a$に対して,数列$\{x_n\}$を \[ |x_1-x_r|<a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定める.
(ⅰ) すべての自然数$n$について$|x_n-x_r|<a$であることを証明せよ.
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=x_r$を証明せよ.
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