袋$\mathrm{A}$，袋$\mathrm{B}$のそれぞれに，$1$から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．
(1) $N=4$とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．$4$回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2) $N=3$とし，$n$は自然数とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．