多項式$P(x)$を \[ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} \] により定める．ただし，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．
(1) $P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき，係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ．
(2) $0<\theta<\pi$に対して， \[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \] が成り立つことを示せ．
(3) $(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて，多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える．$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として，$k=1,\ 2,\ 3$について \[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \] とおく．このとき，$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し，$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ．