2次の正方行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc} -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right)$で定める．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$を関係式 \[ \left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定める．ただし，$x_0=1,\ y_0=0$とする．
(1) $A^4$を求めよ．
(2) $n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して， \[ \left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right)=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \] が成り立つことを示せ．ただし，$E$は2次の単位行列とする．
(3) 原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}_n$までの距離$\mathrm{OP}_n$が最大となる$n$を求めよ．