東北大学
2013年 理系 第4問
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を
\[ a_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta} \, d\theta,\quad b_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta}\cos \theta \, d\theta \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1) 一般項$b_n$を求めよ．
(2) すべての$n$について，$\displaystyle b_n \leqq a_n \leqq \frac{2}{\sqrt{3}}b_n$が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \log (na_n)$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1) 一般項$b_n$を求めよ．
(2) すべての$n$について，$\displaystyle b_n \leqq a_n \leqq \frac{2}{\sqrt{3}}b_n$が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \log (na_n)$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
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