東北大学
2010年 理系 第4問

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四面体ABCDにおいて,辺ABの中点をM,辺CDの中点をNとする.以下の問いに答えよ.(1)等式ベクトルPA+ベクトルPB=ベクトルPC+ベクトルPDを満たす点Pは存在するか.証明をつけて答えよ.(2)点Qが等式|ベクトルQA+ベクトルQB|=|ベクトルQC+ベクトルQD|を満たしながら動くとき,点Qが描く図形を求めよ.(3)点Rが等式|ベクトルRA|^2+|ベクトルRB|^2=|ベクトルRC|^2+|ベクトルRD|^2を満たしながら動くとき,内積ベクトルMN・ベクトルMRはRのとり方によらず一定であることを示せ.(4)(2)の点Qが描く図形と(3)の点Rが描く図形が一致するための必要十分条件は|ベクトルAB|=|ベクトルCD|であることを示せ.
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四面体ABCDにおいて,辺AB の中点をM,辺CDの中点をNとする.以下の問いに答えよ.
(1) 等式 \[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} = \overrightarrow{\mathrm{PC}}+ \overrightarrow{\mathrm{PD}} \] を満たす点Pは存在するか.証明をつけて答えよ.
(2) 点Qが等式 \[ |\overrightarrow{\mathrm{QA}}+\overrightarrow{\mathrm{QB}}| = |\overrightarrow{\mathrm{QC}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}| \] を満たしながら動くとき,点Qが描く図形を求めよ.
(3) 点Rが等式 \[ |\overrightarrow{\mathrm{RA}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{RB}}|^2 = |\overrightarrow{\mathrm{RC}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{RD}}|^2 \] を満たしながら動くとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{MN}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MR}}$はRのとり方によらず一定であることを示せ.
(4) (2)の点Qが描く図形と(3)の点Rが描く図形が一致するための必要十分条件は$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$であることを示せ.
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詳細情報

大学(出題年) 東北大学(2010)
文理 理系
大問 4
単元 ベクトル(数学B)
タグ 証明集合四面体中点等式ベクトル存在図形内積とり方
難易度 未設定

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