大阪府立大学
2013年 文系 第6問
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$2$次関数$\displaystyle y=\sqrt{2}x^2-\frac{\sqrt{2}}{4}$のグラフを$C$とする.以下の問いに答えよ.
(1) 相異なる実数$s,\ t$に対し,$C$上の点$\displaystyle \left( s,\ \sqrt{2}s^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$,$\displaystyle \left( t,\ \sqrt{2}t^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$における$C$の法線をそれぞれ$\ell_s,\ \ell_t$で表す.$\ell_s$と$\ell_t$の交点の座標を求めよ.ただし,曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは,$\mathrm{P}$を通り,$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線のことである.
(2) $t$を固定して$s$を$t$に近づけるとき,(1)で求めた交点の$x$座標と$y$座標が近づく値をそれぞれ$f(t)$,$g(t)$で表す.このとき,$f(t)$,$g(t)$を求めよ.
(3) (2)で求めた$f(t)$,$g(t)$を,実数全体で定義された$t$の関数とみなして, \[ x=f(t),\quad y=g(t) \] によって媒介変数表示される曲線を$D$とする.このとき,$C$と$D$によって囲まれた部分の面積を求めよ.
(1) 相異なる実数$s,\ t$に対し,$C$上の点$\displaystyle \left( s,\ \sqrt{2}s^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$,$\displaystyle \left( t,\ \sqrt{2}t^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$における$C$の法線をそれぞれ$\ell_s,\ \ell_t$で表す.$\ell_s$と$\ell_t$の交点の座標を求めよ.ただし,曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは,$\mathrm{P}$を通り,$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線のことである.
(2) $t$を固定して$s$を$t$に近づけるとき,(1)で求めた交点の$x$座標と$y$座標が近づく値をそれぞれ$f(t)$,$g(t)$で表す.このとき,$f(t)$,$g(t)$を求めよ.
(3) (2)で求めた$f(t)$,$g(t)$を,実数全体で定義された$t$の関数とみなして, \[ x=f(t),\quad y=g(t) \] によって媒介変数表示される曲線を$D$とする.このとき,$C$と$D$によって囲まれた部分の面積を求めよ.
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