大阪大学
2011年 理系 第4問
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$a,\ b,\ c$を正の定数とし,$x$の関数$f(x) = x^3 +ax^2 +bx+c$を考える.以下,定数は全て実数とする.
(1) 定数$p,\ q$に対し,次をみたす定数$r$が存在することを示せ. \[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad |px+q| \leqq rx \]
(2) 恒等式$(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=\alpha^3-\beta^3$を用いて,次をみたす定数$k,\ l$が存在することを示せ. \[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad \left|\sqrt[3]{f(x)}-x-k \right| \leqq \frac{l}{x} \]
(3) すべての自然数$n$に対して,$\sqrt[3]{f(n)}$が自然数であるとする.このとき関数$f(x)$は,自然数の定数$m$を用いて$f(x)=(x+m)^3$と表されることを示せ.
(1) 定数$p,\ q$に対し,次をみたす定数$r$が存在することを示せ. \[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad |px+q| \leqq rx \]
(2) 恒等式$(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=\alpha^3-\beta^3$を用いて,次をみたす定数$k,\ l$が存在することを示せ. \[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad \left|\sqrt[3]{f(x)}-x-k \right| \leqq \frac{l}{x} \]
(3) すべての自然数$n$に対して,$\sqrt[3]{f(n)}$が自然数であるとする.このとき関数$f(x)$は,自然数の定数$m$を用いて$f(x)=(x+m)^3$と表されることを示せ.
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