岐阜大学
2013年 理系 第4問
4
![正の整数nについて,x>0で定義された関数f_n(x)を次で定める.\begin{array}{l}f_1(x)=xlogx\f_{n+1}(x)=(n+1)∫_1^xf_n(t)dt+\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)\end{array}以下の問に答えよ.ただし,logxはxの自然対数とする.(1)関数f_2(x)を求めよ.(2)関数f_n(x)の具体的な形を推測し,それを数学的帰納法で証明せよ.(3)g(x)=|f_2(x)|-|x-1|とおくとき,g(x)がx=1で微分可能であることを証明せよ.また,微分係数g´(1)を求めよ.](./thumb/385/2484/2013_4.png)
4
正の整数$n$について,$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を次で定める.
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ.ただし,$\log x$は$x$の自然対数とする.
(1) 関数$f_2(x)$を求めよ.
(2) 関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し,それを数学的帰納法で証明せよ.
(3) $g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき,$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ.また,微分係数$g^\prime(1)$を求めよ.
(1) 関数$f_2(x)$を求めよ.
(2) 関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し,それを数学的帰納法で証明せよ.
(3) $g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき,$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ.また,微分係数$g^\prime(1)$を求めよ.
類題(関連度順)
![](./thumb/507/2710/2014_4s.png)
![](./thumb/351/2519/2013_2s.png)
![](./thumb/294/3239/2016_1s.png)
![](./thumb/146/1726/2010_11s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。