$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CR}$の交点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えなさい．
(1) 長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい． \[ \mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mkakko{$\mathrm{a}$}:\mkakko{$\mathrm{b}$} \]
(2) 長さの比$\mathrm{PO}:\mathrm{OA}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい． \[ \mathrm{PO}:\mathrm{OA}=\mkakko{$\mathrm{c}$}:\mkakko{$\mathrm{d}$} \]
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を，それぞれ$S_1$と$S_2$とおく．面積の比$S_1:S_2$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい． \[ S_1:S_2=\mkakko{$\mathrm{e}$} \mkakko{$\mathrm{f}$}:\mkakko{$\mathrm{g}$} \]
(4) $\triangle \mathrm{OBP}$の面積を，$S_3$とおく．面積の比$S_1:S_3$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい． \[ S_1:S_3=\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}:\mkakko{$\mathrm{j}$} \]