富山大学
2014年 薬学部 第3問
3
![実数を成分とする2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})に対して,T(A)=a+d,\Delta(A)=ad-bcと定める.このとき,次の問いに答えよ.ただし,E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array}),O=(\begin{array}{cc}0&0\0&0\end{array})とする.(1)等式A^2-T(A)A+\Delta(A)E=Oが成り立つこと(ハミルトン・ケーリーの定理)を示せ.(2)実数を成分とする2次の正方行列X,YがXY-YX=(\begin{array}{cc}0&1\1&0\end{array})を満たすとし,α=T(X),β=\Delta(X)とおく.(i)X^2Y-YX^2をαを用いて表せ.(ii)(X^2Y-YX^2)^2=E,X^4+X^2+E=Oが成り立つとき,α,βの値を求めよ.](./thumb/351/2519/2014_3.png)
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実数を成分とする$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して,$T(A)=a+d$,$\Delta(A)=ad-bc$と定める.このとき,次の問いに答えよ.ただし,$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$,$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする.
(1) 等式$A^2-T(A)A+\Delta(A)E=O$が成り立つこと(ハミルトン・ケーリーの定理)を示せ.
(2) 実数を成分とする$2$次の正方行列$X,\ Y$が$XY-YX=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$を満たすとし,$\alpha=T(X)$,$\beta=\Delta(X)$とおく.
(ⅰ) $X^2Y-YX^2$を$\alpha$を用いて表せ.
(ⅱ) $(X^2Y-YX^2)^2=E$,$X^4+X^2+E=O$が成り立つとき,$\alpha,\ \beta$の値を求めよ.
(1) 等式$A^2-T(A)A+\Delta(A)E=O$が成り立つこと(ハミルトン・ケーリーの定理)を示せ.
(2) 実数を成分とする$2$次の正方行列$X,\ Y$が$XY-YX=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$を満たすとし,$\alpha=T(X)$,$\beta=\Delta(X)$とおく.
(ⅰ) $X^2Y-YX^2$を$\alpha$を用いて表せ.
(ⅱ) $(X^2Y-YX^2)^2=E$,$X^4+X^2+E=O$が成り立つとき,$\alpha,\ \beta$の値を求めよ.
類題(関連度順)
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