大阪府立大学
2010年 理系 第3問
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![単位行列Eの実数倍ではない行列A=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\biggr)を考える.Aで表わされるxy平面上の移動をfとする.(1)A^2=kEを満たす実数kが存在するための必要十分条件は,a+d=0であることを示せ.(2)a+d=0のとき,原点Oとは異なる点Pで,f(P)が直線OP上にあるものが存在すれば,a^2+bc≧0であることを示せ.(3)a+d=0かつa^2+bc≧0であるとする.このとき\lambda=\sqrt{a^2+bc}とおけば,(A-\lambdaE)(A+\lambdaE)=Oが成り立つことを示せ.ただし,Oは零行列とする.(4)(3)の仮定のもとで,\lambda=\sqrt{a^2+bc}とおく.原点Oとは異なる点Pで, Q =f(P)とすれば,ベクトルOQ=\lambdaベクトルOPとなるものが存在することを示せ.](./thumb/507/2706/2010_3.png)
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単位行列$E$の実数倍ではない行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える.$A$で表わされる$xy$平面上の移動を$f$とする.
(1) $A^2=kE$を満たす実数$k$が存在するための必要十分条件は,$a+d=0$であることを示せ.
(2) $a+d=0$のとき,原点Oとは異なる点Pで,$f(P)$が直線OP上にあるものが存在すれば,$a^2+bc \geqq 0$であることを示せ.
(3) $a+d=0$かつ$a^2+bc \geqq 0$であるとする.このとき$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおけば,$(A-\lambda E)(A+\lambda E)=O$が成り立つことを示せ.ただし,$O$は零行列とする.
(4) (3)の仮定のもとで,$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおく.原点Oとは異なる点Pで,$\text{Q}=f(P)$とすれば,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となるものが存在することを示せ.
(1) $A^2=kE$を満たす実数$k$が存在するための必要十分条件は,$a+d=0$であることを示せ.
(2) $a+d=0$のとき,原点Oとは異なる点Pで,$f(P)$が直線OP上にあるものが存在すれば,$a^2+bc \geqq 0$であることを示せ.
(3) $a+d=0$かつ$a^2+bc \geqq 0$であるとする.このとき$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおけば,$(A-\lambda E)(A+\lambda E)=O$が成り立つことを示せ.ただし,$O$は零行列とする.
(4) (3)の仮定のもとで,$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおく.原点Oとは異なる点Pで,$\text{Q}=f(P)$とすれば,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となるものが存在することを示せ.
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