お茶の水女子大学
2012年 理(数学科) 第4問
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![以下では,実数を成分にもつ行列を考える.(1)A=(\begin{array}{cc}a&b\\0&d\end{array})とする.(i)a>0,d≧0またはa≧0,d>0のとき,X^2=Aを満たす行列Xを1つ求めよ.(ii)a<0またはd<0のとき,X^2=Aを満たす行列Xが存在するための必要十分条件をa,b,dを用いて表せ.また,この条件が成り立つとき,X^2=Aを満たす行列Xを1つ求めよ.(iii)a=d=0,b≠0のとき,X^2=Aを満たす行列Xは存在しないことを示せ.(2)B=(\begin{array}{cc}p&q\\r&s\end{array}),B^2=(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array})とする.(i)p+s=0,ps-qr=0となることを示せ.(ii)B≠(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array})のとき,X^2=Bを満たす行列Xは存在しないことを示せ.](./thumb/177/2316/2012_4.png)
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以下では,実数を成分にもつ行列を考える.
(1) $A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right)$とする.
(ⅰ) $a>0,\ d \geqq 0$または$a \geqq 0,\ d>0$のとき,$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ.
(ⅱ) $a<0$または$d<0$のとき,$X^2=A$を満たす行列$X$が存在するための必要十分条件を$a,\ b,\ d$を用いて表せ.また,この条件が成り立つとき,$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ.
(ⅲ) $a=d=0,\ b \neq 0$のとき,$X^2=A$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ.
(2) $B=\left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right),\ B^2=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$とする.
(ⅰ) $p+s=0,\ ps-qr=0$となることを示せ.
(ⅱ) $B \neq \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$のとき,$X^2=B$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ.
(1) $A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right)$とする.
(ⅰ) $a>0,\ d \geqq 0$または$a \geqq 0,\ d>0$のとき,$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ.
(ⅱ) $a<0$または$d<0$のとき,$X^2=A$を満たす行列$X$が存在するための必要十分条件を$a,\ b,\ d$を用いて表せ.また,この条件が成り立つとき,$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ.
(ⅲ) $a=d=0,\ b \neq 0$のとき,$X^2=A$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ.
(2) $B=\left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right),\ B^2=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$とする.
(ⅰ) $p+s=0,\ ps-qr=0$となることを示せ.
(ⅱ) $B \neq \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$のとき,$X^2=B$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ.
類題(関連度順)
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