愛知県立大学
2015年 理系 第2問
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$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点を移動する点$\mathrm{P}$があり,初め頂点$\mathrm{A}$にいる.その後,$1$秒毎に,以下の規則に従ってその位置を変化させる.
(ⅰ) 頂点$\mathrm{A}$にいるときは,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{B}$に移るか,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{C}$に移る.
(ⅱ) 頂点$\mathrm{B}$にいるときは,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか,確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$にとどまるか,確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$に移る.
(ⅲ) 頂点$\mathrm{C}$にいるときは,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか,確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$へ移るか,確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$にとどまる.
初め頂点$\mathrm{A}$にいた点$\mathrm{P}$が$n$秒後に頂点$\mathrm{A}$,頂点$\mathrm{B}$にいる確率をそれぞれ$p_n$,$q_n$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$を求めよ.
(2) $p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$の式で表せ.
(3) $p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$の式で表せ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n,\ \lim_{n \to \infty}q_n$をそれぞれ求めよ.
(ⅰ) 頂点$\mathrm{A}$にいるときは,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{B}$に移るか,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{C}$に移る.
(ⅱ) 頂点$\mathrm{B}$にいるときは,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか,確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$にとどまるか,確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$に移る.
(ⅲ) 頂点$\mathrm{C}$にいるときは,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか,確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$へ移るか,確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$にとどまる.
初め頂点$\mathrm{A}$にいた点$\mathrm{P}$が$n$秒後に頂点$\mathrm{A}$,頂点$\mathrm{B}$にいる確率をそれぞれ$p_n$,$q_n$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$を求めよ.
(2) $p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$の式で表せ.
(3) $p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$の式で表せ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n,\ \lim_{n \to \infty}q_n$をそれぞれ求めよ.
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