宮城教育大学
2013年 教育学部(中等数学) 第1問
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![以下の問いに答えよ.(1)a>0,b>0とする.a≠bであるための必要十分条件は,\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}であることを示せ.(2)a>0,b>0,a≠bとする.p=a+b-\sqrt{ab},q=1/a+1/b-\frac{1}{\sqrt{ab}}とおくとき,pq>1であることを示せ.ただし,必要があれば,(1)の結果を用いてよい.(3)a>0,b>0,ab>1とする.xの2次方程式x^2-(a+\sqrt{a/b})x+a/b=0は,相異なる2つの正の実数解をもつことを示せ.](./thumb/53/0/2013_1.png)
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以下の問いに答えよ.
(1) $a>0,\ b>0$とする.$a \neq b$であるための必要十分条件は, \[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \] であることを示せ.
(2) $a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする. \[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \] とおくとき,$pq>1$であることを示せ.ただし,必要があれば,(1)の結果を用いてよい.
(3) $a>0,\ b>0,\ ab>1$とする.$x$の$2$次方程式 \[ x^2-\left( a+\sqrt{\frac{a}{b}} \right)x+\frac{a}{b}=0 \] は,相異なる$2$つの正の実数解をもつことを示せ.
(1) $a>0,\ b>0$とする.$a \neq b$であるための必要十分条件は, \[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \] であることを示せ.
(2) $a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする. \[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \] とおくとき,$pq>1$であることを示せ.ただし,必要があれば,(1)の結果を用いてよい.
(3) $a>0,\ b>0,\ ab>1$とする.$x$の$2$次方程式 \[ x^2-\left( a+\sqrt{\frac{a}{b}} \right)x+\frac{a}{b}=0 \] は,相異なる$2$つの正の実数解をもつことを示せ.
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