岩手大学
2012年 人文社会科学 第3問
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単位時間あたり一定量の水の出るポンプを使ってプールに水を入れることを考える.以下の問いに答えよ.
(1) プールに水をいっぱい入れるのに,ポンプIを使うと2時間,ポンプIIを使うと3時間かかるとする.IとIIを同時に使うと何時間かかるか.
(2) プールに水をいっぱい入れるのに,ポンプAを使うと$a$時間,ポンプBを使うと$b$時間かかるとする.AとBを同時に使うと何時間かかるか.
(3) プールに水をいっぱい入れるのに,ポンプC$_1$,ポンプC$_2$いずれを使っても$c$時間かかるとする.C$_1$とC$_2$を同時に使うと,(2)で求めた時間と同じ時間がかかったという.$c$を$a$と$b$を用いて表せ.
(4) $c$を(3)で求めた$a,\ b$の式とするとき,不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq c$が成り立つことを証明せよ.また,等号が成り立つのは$a=b$の場合に限ることを示せ.
(1) プールに水をいっぱい入れるのに,ポンプIを使うと2時間,ポンプIIを使うと3時間かかるとする.IとIIを同時に使うと何時間かかるか.
(2) プールに水をいっぱい入れるのに,ポンプAを使うと$a$時間,ポンプBを使うと$b$時間かかるとする.AとBを同時に使うと何時間かかるか.
(3) プールに水をいっぱい入れるのに,ポンプC$_1$,ポンプC$_2$いずれを使っても$c$時間かかるとする.C$_1$とC$_2$を同時に使うと,(2)で求めた時間と同じ時間がかかったという.$c$を$a$と$b$を用いて表せ.
(4) $c$を(3)で求めた$a,\ b$の式とするとき,不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq c$が成り立つことを証明せよ.また,等号が成り立つのは$a=b$の場合に限ることを示せ.
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