山形大学
2012年 医学部 第3問
3
![自然数nに対してS(x)=Σ_{k=1}^n(-1)^{k-1}x^{2k-2},R(x)=\frac{(-1)^nx^{2n}}{1+x^2}とする.さらにf(x)=\frac{1}{1+x^2}とする.このとき,次の問に答えよ.(1)等式∫_0^1S(x)dx=Σ_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{2k-1}が成り立つことを示せ.(2)定積分∫_0^1f(x)dxの値を求めよ.(3)等式S(x)=f(x)-R(x)が成り立つことを示せ.(4)不等式|∫_0^1R(x)dx|≦\frac{1}{2n+1}が成り立つことを示せ.(5)無限級数1-1/3+1/5-1/7+・・・の和を求めよ.](./thumb/72/2151/2012_3.png)
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自然数$n$に対して
\[ S(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}x^{2k-2},\quad R(x)=\frac{(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \]
とする.さらに$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 等式$\displaystyle \int_0^1 S(x) \, dx=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\frac{1}{2k-1}$が成り立つことを示せ.
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ.
(3) 等式$S(x)=f(x)-R(x)$が成り立つことを示せ.
(4) 不等式$\displaystyle |\int_0^1 R(x) \, dx| \leqq \frac{1}{2n+1}$が成り立つことを示せ.
(5) 無限級数$\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$の和を求めよ.
(1) 等式$\displaystyle \int_0^1 S(x) \, dx=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\frac{1}{2k-1}$が成り立つことを示せ.
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ.
(3) 等式$S(x)=f(x)-R(x)$が成り立つことを示せ.
(4) 不等式$\displaystyle |\int_0^1 R(x) \, dx| \leqq \frac{1}{2n+1}$が成り立つことを示せ.
(5) 無限級数$\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$の和を求めよ.
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