東京理科大学
2014年 薬学部(薬) 第3問
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$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間の$x$軸上,$y$軸上,$z$軸上にそれぞれ点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$があり,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{AC}=2$であるという.そのとき,$\mathrm{BC}=a$とおき,三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく.
(1) $a$の取りうる値の範囲は \[ \sqrt{\fbox{ア}} \leqq a \leqq \sqrt{\fbox{イ}\fbox{ウ}} \] である.
(2) $\tokeiichi$ \ \ $\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{\fbox{エ}\fbox{オ}}(-a^2+\fbox{カ}\fbox{キ})$である.
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle S^2=\frac{1}{\fbox{ク}\fbox{ケ}}(-a^4+\fbox{コ}\fbox{サ}a^2-\fbox{シ}\fbox{ス})$である.
(3) $\mathrm{OA}=x$とおいて,$S^2$を$x$を用いて表すと \[ S^2=-\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}x^4+\fbox{タ} \] となる.
(4) $S=2 \sqrt{2}$のとき,四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球(すなわち,中心がこの四面体の内部にあって,すべての面と$1$点のみを共有する球)の半径を$r$とおく.
(ⅰ) $\displaystyle r=\frac{\sqrt{\fbox{チ}}}{1+\fbox{ツ} \sqrt{\fbox{テ}}+\sqrt{\fbox{ト}\fbox{ナ}}}$である.
(ⅱ) $r=\fbox{ニ} \sqrt{\fbox{チ}}-\fbox{ヌ} \sqrt{\fbox{テ}}+\fbox{ネ} \sqrt{\fbox{ト}\fbox{ナ}}-\fbox{ノ}$となる.
(1) $a$の取りうる値の範囲は \[ \sqrt{\fbox{ア}} \leqq a \leqq \sqrt{\fbox{イ}\fbox{ウ}} \] である.
(2) $\tokeiichi$ \ \ $\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{\fbox{エ}\fbox{オ}}(-a^2+\fbox{カ}\fbox{キ})$である.
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle S^2=\frac{1}{\fbox{ク}\fbox{ケ}}(-a^4+\fbox{コ}\fbox{サ}a^2-\fbox{シ}\fbox{ス})$である.
(3) $\mathrm{OA}=x$とおいて,$S^2$を$x$を用いて表すと \[ S^2=-\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}x^4+\fbox{タ} \] となる.
(4) $S=2 \sqrt{2}$のとき,四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球(すなわち,中心がこの四面体の内部にあって,すべての面と$1$点のみを共有する球)の半径を$r$とおく.
(ⅰ) $\displaystyle r=\frac{\sqrt{\fbox{チ}}}{1+\fbox{ツ} \sqrt{\fbox{テ}}+\sqrt{\fbox{ト}\fbox{ナ}}}$である.
(ⅱ) $r=\fbox{ニ} \sqrt{\fbox{チ}}-\fbox{ヌ} \sqrt{\fbox{テ}}+\fbox{ネ} \sqrt{\fbox{ト}\fbox{ナ}}-\fbox{ノ}$となる.
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