東京理科大学
2012年 理工(数・建築・電気電子情報工) 第3問
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自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{\log x}{x^n} \quad (x>0) \]
で定める.ただし,$\log$は自然対数を表す.
$t>1$とするとき,座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分,$x$軸,直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする.また,$4$点$(1,\ 0)$,$(t,\ 0)$,$(t,\ f_n(t))$,$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする.
(1) 関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と,そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ.
(2) $t$が$t>1$を動くとき,$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ.
(3) $S_1(t)$と$S_n(t) \ \ (n \geqq 2)$を求めよ.
(4) 各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t \ \ (t>1)$がただ$1$つあることを示せ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい.
$t>1$とするとき,座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分,$x$軸,直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする.また,$4$点$(1,\ 0)$,$(t,\ 0)$,$(t,\ f_n(t))$,$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする.
(1) 関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と,そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ.
(2) $t$が$t>1$を動くとき,$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ.
(3) $S_1(t)$と$S_n(t) \ \ (n \geqq 2)$を求めよ.
(4) 各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t \ \ (t>1)$がただ$1$つあることを示せ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい.
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